Зачастую сталкивался с такой проблемой, поэтому решил написать как быстро и легко решить данную задачу. На самом деле всё достаточно просто, достаточно написать небольшую функцию с одним параметром. Грубо говоря, функция будет просто обрезать полный путь к файлу и оставлять только имя файла.

Вот описание самой функции:

function GetShortFileName(Str: string): string;
var
  z: integer;
  n: byte;
begin
  for z := length(Str) -1 downto 0 do
    if Str[z] = '\' then
    begin
      n := z;
      break;
    end;
  Delete(Str, 1, n);
  Result := Str;
end;

Теперь нам необходимо вызвать эту функцию в нужном месте программы и внести в неё нужный параметр. Например, мы получаем короткое имя при открытии какого-нибудь файла (результат выводим в Label):

Label1.Caption:=GetShortFileName(OpenDialog1.FileName);

Заметьте, что расширение у файла остаётся!
В следующем посте свяжем данную функцию с ещё одной, полезной и очень похожей на эту! ;)

- - - - - - - - - -

Интересно почитать:

Как получить короткое имя файла без расширения
Как получить расширение файла